Статья "Развитие математических способностей в подростковом возрасте "
15.03.2014
47948
0
Мир математики – мир количественных, функциональных, пространственных и пр. отношений, выраженных посредством числовой и другой знаковой символики – очень специфичен и своеобразен. Математики имеет дело с условными символическими обозначениями математических отношений, мыслит ими, оперирует, комбинирует. В этом очень своеобразном мире, в процессе весьма специфической математической деятельности общая способность так преобразуется, так трансформируется, что оставаясь общей по своей природе, выступает уже как специфическая способность [1, с. 389].
В структуре математических способностей школьника В.А. Крутецкий [1, с. 362] выделил следующие шесть компонентов:
1) формализованное восприятие математического материала,
2) обобщение математического материала,
3) свернутость математического мышления – тенденция мыслить в процессе математической деятельности сокращёнными структурами,
4) гибкость мыслительного процесса,
5) стремление к своеобразной экономии умственных усилий – к «изяществу» решений,
6) математическая память.
1. Формализованное восприятие математического материала
В «зародышевой» форме этот компонент начинает проявляться уже во 2-3 классах (к 8 годам). У более способных к математике учащихся под влиянием обучения формируется стремление разобраться в условии задачи, сопоставить её данные. Их начинает интересовать в задаче не просто отдельные величины, а именно отношения величин. Если менее способные ученики воспринимают отдельные, конкретные элементы задачи, как не связанные друг с другом, и сразу после чтения задачи, начинают производить различные операции со всеми данными числами (складывать, вычитать, в дальнейшем, умножать и делить), не задумываясь над смыслом задачи и не пытаясь вычленить основные отношения, то у более способных учеников появляется своеобразная потребность при восприятии условия задачи вскрывать эти отношения, связывать отдельные показатели и величины. Пока это процесс ещё более или менее «растянутый» во времени: быстро определить нужное отношение наблюдается лишь в совсем простых задачах у наиболее способных учеников.
Постепенно способные учащиеся начинают видеть в задаче отношения между определёнными величинами, поэтому они часто не придают большого значения тому, о каких конкретно предметах идёт речь в задаче, вплоть до того, что путают названия предметов / явлений, о которых говорят. Так решая задачу о яблонях: В саду было 9 яблонь, одна из них погибла, и садовник посадил ещё 6 яблонь; сколько стало яблонь в саду? – такие ученики в ответе могут записать «Стало 14 деревьев».
Менее способные ученики придерживаются точного названия предметов, в задачах они видят не какие-то математические отношения, а лишь конкретные предметы, с которыми нужно что-то делать. В той же задаче про яблони, ученику нельзя переформулировать вопрос: «Сколько яблонь стало в саду?» на «Сколько деревьев стало в саду?», – поскольку этот вопрос для ученика имеет отношение к другой задаче. Если после решения задачи про яблони ученикам предложить похожую задачу про груши: В саду росло 9 груш, одна из них погибла, и садовник посадил ещё 6 груш; сколько стало в саду груш? – они начнут решать её как совершенно новую задачу.
То же самое наблюдается и при конструировании задач учащимися. Менее способные начинают с предметного содержания («буду составлять задачу про яблоки»), потом с некоторым трудом вводят отношения («буду составлять задачу на «больше – меньше»), и лишь затем «опредмечивали» их («На моей яблоне – 20 яблок, а на Машиной – 18 яблок. На чьей яблоне яблок больше?»).
Вычленяя отношения, более способные и многие средние учащиеся уже во 2-3 классах начинают дифференцировать данные:
– выделять те, которые необходимы для решения,
– осознавать, каких величин недостаёт,
– отсеивать лишнюю, ненужную информацию (в том числе и числовые данные).
Постепенно процесс первичной ориентировки в условиях задачи начинает свёртываться. «Свёрнутый» характер восприятия отчётливо виден при решении элементарных задач, где меньше данных и поэтому облегчается восприятие всей системы отношений в целом. Тенденция к «свёрнутости» восприятия усиливается от 2 к 4 классу.
У более способных учеников наблюдается явно выраженная тенденция к своеобразному аналитико-синтетическому восприятию условия задачи: они воспринимают не только единичные элементы, а и своеобразные «смысловые математические структуры», комплексы взаимосвязанных математических величин и категорий. Разумеется, указанная особенность проявляется на сравнительно несложном арифметическом материале и, следовательно, на более или менее элементарном уровне. Дальнейшее развитие аналитико-синтетического восприятия условия задачи идёт по пути свёртывания (сокращения) этого процесса.
В среднем школьном возрасте процесс первичного анализа-синтеза данных условия не очень сложной задачи у весьма способных учащихся максимально «свёрнут», предельно ограничен во времени, так что практические сливается с моментом восприятия: не разбивается на этапы анализа и синтеза данных, не заметны элементы рассуждения.
Тенденция к формализации восприятия, выделению формальной структуры в среднем возрасте приобретает у более способных учащихся широкий характер.
В среднем школьном возрасте намечается, а в старшем школьном возрасте достигает значительного развития ещё одна способность восприятия школьниками математического материала: своеобразная многосторонность, многоплановость восприятия, когда одна и та же задача, одно и то же математическое выражение воспринимаются, оцениваются с разных точек зрения.
Например, при анализе основного тригонометрического тождества: sin2x + cos2x = 1, менее способные учащиеся укажут только на возможность использовать тождество для вычисления sin x (cos x) по данному cos x (sin x); способные к математике учащиеся заметят и ряд других возможностей, например:
– значение sin x и cos x не превосходит 1;
– если сумма квадратов двух чисел равна 1, то одно из них является синусом некоторого действительного числа, а второе – косинусом этого числа;
– при преобразовании тригонометрического выражения, содержащего А×sin2x, В×cos2x и С, можно использовать основное тригонометрическое тождество как слева направо (А < В, Аsin2x + Вcos2x + С = А(sin2x + cos2x) + (В – А)cos2x + С = (В – А)cos2x + (А + С) = Dcos2x + F ), так и справа налево (А < В, Аsin2x + Вcos2x + С(sin2x + cos2x) = (А + С)sin2x + (В + С)cos2x = К×sin2x + L×cos2x).
У школьников старшего школьного возраста под влиянием обучения формируется и развивается аксиомосообразное мышление, проявляющееся в
тенденции исследовать задачу на достаточность (полноту) и на совместность (непротиворечивость данных условия);
тенденции отделять постулируемое утверждение от выводимого.
Всё вышесказанное говорит о возникновении под влиянием школьного обучения тенденции к формализации математического материала в процессе его восприятия, способности усматривать в конкретном математическом выражении или задаче их формальную структуру. Ученик при этом отвлекается от конкретных данных и воспринимает, в первую очередь, лишь чистые отношения между величинами. Указанная тенденция возникает у способных учеников уже в конце младшего школьного возраста и заметно усиливается к старшему возрасту. При этом ученику требуется анализировать всё меньше и меньше однотипных выражений для усмотрения формальной структуры типа. В итоге возникает способность выделить формальную структуру типа в результате анализа лишь одного явления без сопоставления его с рядом других сходных явлений.
2. Обобщение математического материала
Способность к обобщению математического материала как способность улавливать общее в различных задачах и примерах и соответственно видеть разное в общем начинает складываться раньше всех других компонентов.
Уже в 1 классе можно наблюдать проявления обобщения в элементарных формах. На этом этапе развития учащихся ещё рано говорить об этой способности как специфической способности к обобщению именно математического материала. Скорее, здесь можно говорить об общей способности к обобщению, как одном из проявлений свойств обучаемости.
На начальных ступенях школьного обучения математические обобщения обычно формируются постепенно и распространяются на сравнительно ограниченный круг явлений. С возрастом обобщение становится всё более широким, распространяется на больший круг однородных математических явлений.
В младшем школьном возрасте наблюдается относительно более простой вид обобщения – движение от частного с известному общему – умение увидеть в частном уже известное общее, иначе говоря, подвести частный случай под общее правило. Этот вид обобщения достигает большого развития в среднем школьном возрасте. Чем способнее ученик, тем успешнее справляется он с задачами на соответствующее обобщение. Как правило, только в начале среднего школьного возраста наблюдается обобщение индуктивного характера – от частного к неизвестному общему.
Развитие способности к обобщению идёт по линии постепенного количества специальных однотипных упражнений, являющихся предпосылкой такого обобщения. У наиболее способных учащихся среднего школьного возраста такое обобщение наступает сразу, путём анализа одного отдельно взятого явления в ряду сходных явлений, как способность усмотреть ещё неизвестное общее в единичном. Путь обобщения «от (многих) частных к неизвестному общему» постепенно трансформируется в качественно совершенно особый путь «от (одного) частного к неизвестному общему».
Эта способность тесно связана со способностью к формализованному восприятию математического материала, и по аналогии с «формализованным восприятием» можно говорить о «формализованном решении». Например, способный к математике подросток ещё не знакомый с формулами сокращённого умножения решает задачу преобразования выражения: (2а + 7b)2.
Для способных подростков вообще характерно обобщённое решение задач (тенденция решать каждую конкретную задачу в общем виде). В элементарной форме эта тенденция может быть отмечена и у младших школьников, которые свободно решают задачи следующего типа: «Магазин получил 8 мешков муки по а кг в каждом. В течение дня продано 3 мешка муки. Сколько килограммов муки осталось?»
Для способных к математике старших школьников характерно не только обобщение конкретного материала, но и перевод уже обобщённой информации в более общий план.
Если подросток, решая данную задачу в общем виде, решает тем самым все задачи данного вида, то старший школьник старается решить не только заданный тип задач, но и более общую задачу, частным случаем которой является решённая им задача.
Например, такие школьники, решая задачу: «Доказать, что
, если 
» – в состоянии разглядеть в ней:
– векторную природу (надо доказать, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей, если векторы параллельны) и обобщить её до следующей задачи:
;
– или частный случай формулы Коши-Буняковского.
Способные к математике старшеклассники поднимаются до уровня обобщения методов, принципов подхода к анализу и решению задач разных типов; эти методы отличаются разной степенью обобщённости.
Опишем мотивацию деятельности обобщения. В младшем школьном возрасте обобщение вызывается некоторым внешним стимулом: указание учителя, логика задачи или её требование, – потребности в обобщении здесь чаще всего нет. С развитием учащегося в процессе обучения наблюдается всё большая независимость обобщения от внешних стимулов, и уже в среднем школьном возрасте явно обнаруживается потребность в обобщении даже тогда, когда никакой внешней необходимости в этом нет. Особенного развития она достигается в старшем школьном возрасте у способных к математике учащихся. Таким образом мотивацию деятельности обобщения движется от внешней необходимости к внутренней потребности.
3. Свёрнутость мышления
Свёрнутость, сокращённость рассуждения и системы соответствующих действий в процессе математической деятельности является специфической для способных к математике учащихся в основном старшего школьного возраста, хотя отчётливо усматривается и в среднем (подростковом) возрасте.
Этот компонент математических способностей в младшем школьном возрасте проявляется лишь в самой элементарной форме, при решении способными учениками лишь самых простых задач; как только задача усложняется, она учеником обдумывается и решается шаг за шагом, рассуждения развёрнутые и детализированные. Процесс свёртывания яснее выражен у способных учащихся после решения ими ряда однотипных задач и примеров. При этом чаще опускаются отдельные звенья рассуждения, действия же обычно сохраняются и воспроизводятся на бумаге последовательно. Например, при решении задачи: «Для школьной выставки ребята сделали 32 рисунка, 5 учеников третьего класса сделали по 4 рисунка, остальные рисунки сделали 6 учеников второго класса поровну. По сколько рисунков сделали для выставки ученики второго класса?» – такой ученик сразу же после первого прочтения задачи способен подвести итог: 12 : 6 = 2 рисунка сделал каждый ученик второго класса. Таким образом, два предшествующих этапа в решении задачи были проведены мысленно и очень быстро: 4 ×5 = 20, 32 – 20 = 12 или 32 – 4 ×5 = 12.
Можно наметить два направления развития рассматриваемого компонента математических способностей от среднего к старшему возрасту. С одной стороны, многократность повторения однотипного рассуждения и системы соответствующих действий, являющаяся на ранних возрастных этапах необходимым условием начала процесса свёртывания, постепенно перестаёт быть таким необходимым условием. Рассуждение и система соответствующих действий начинают свёртываться сразу же при решении нового типа задач.
У способных учащихся 7-9 и особенно старших классов зачастую сложно усмотреть процесс свёртывания, поскольку они мыслят уже свернутыми структурами, что обеспечивает им своеобразное математическое дальновидение при решении задач и бόльшую скорость переработки математической информации.
Второе направление развития касается осознания школьниками опущенных звеньев рассуждения.
На первых порах опущенные звенья осознаются: ученики не озвучивают и не визуализируют их, но они явно «присутствуют» при мышлении вслух и письменном воспроизведении соответствующих действий, в результате чего можно наблюдать паузы, приходящиеся как раз на те звенья, которые пропускаются.
В дальнейшем редуцированные звенья уже не осознаются в момент воспроизведении соответствующих действий: пауз в соответствующих местах не наблюдается; однако рассуждения легко может быть развёрнуто, то есть восстановлены все опущенные звенья, и это может быть сделано учеников в любой момент – при возникновении трудностей или по требованию учителя.
Наконец, на более поздних этапах развития, когда ученик мыслит свёрнутыми структурами, он испытывает трудности, если сталкивается с необходимостью развернуть процесс рассуждения с возможной полнотой. В отдельных случаях учащиеся явно затрудняются обосновать свой ход мысли, заявляя, что для них это очевидно, а они никогда не задумывались над тем, как объяснить очевидное. Например, если способный к математике старшеклассник решает задачу: «Найти зависимость между НОД и НОК двух чисел», – он сразу заключает: произведение НОД на НОК двух чисел равно произведению этих чисел. По требованию учителя, он поясняет (разворачивает рассуждения): НОД двух чисел – это их общие множители, НОК – это произведение самих чисел, в которые общая часть входит только один раз. Это рассуждение навряд ли будет понято большинством его одноклассников.
4. Гибкость мыслительного процесса
В зачаточной форме этот компонент был обнаружен лишь у способных к математике младших школьников, у большинства не обнаружено явной тенденции искать несколько различных путей решения одной и той же задачи, переключаясь с одного хода мысли на другой (такой переход оказывается для них трудным). Более того, у младших школьников требование найти ещё один способ решения задачи вызывает недоумение: для многих из них неприемлема сама мысль о том, что задача может иметь несколько правильных решений. Но способные к математике учащиеся, уже к окончанию начальной школы демонстрируют известную гибкость мыслительных процессов в ходе поисков других решений. Однако, следует отметить, что никогда это не происходит по их собственной инициативе, а всегда после наводящих вопросов учителя. Менее способные к математике учащиеся даже в более старших классах с трудом переключаются с одной умственной операции на другую (качественно иную), они обычно очень скованы первоначально найденным способом решения, склонны к шаблонным и трафаретным ходам мысли. Интересно, что в подобных случаях дело заключается не в том, что трудно переключиться с простого на более сложный способ решения; зачастую трудно переключиться и с более трудоёмкого на более лёгкий способ, если первый является привычным, а второй – новым и незнакомым. Один способ тормозится другим. Например, решая квадратное уравнение (5 – х)×(х + 7) = 0, некоторые ученики, вместо того, чтобы сразу найти корни, пользуясь свойством равенства произведения нулю: х = 5, х = – 7, – начинали приводить левую часть уравнения к стандартному виду для того, чтобы затем использовать формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения.
Развитие гибкости мышления идёт по пути всё более полного освобождения от сковывающего влияния предшествующего хода мысли. У более способных к математике подростков и старшеклассников ломка и перестройка сложившихся способов мышления совершаются быстро и без лишних проблем; они по собственной инициативе находят различные пути решения задач.
5. Стремление к экономии умственных усилий, рациональности
Тенденция к оценке ряда возможных способов решения и выбору из них наиболее ясного, простого и экономного, наиболее рационального решения в младшем школьном возрасте ещё не чётко выражена. Лишь наиболее способные оценивали различные решения как «более простое» и «более сложное», «лучшее» и «худшее», исходя при этом только из количества производимых операций.
Указанная тенденция начинает заметно проявляться лишь в среднем школьном (подростковом) возрасте. Если для учеников со средними способностями цель заключается в том, чтобы решить задачу, то для способных к математике она заключается в том, чтобы решить её наилучшим, наиболее экономным способом. Хотя подросткам и не всегда удаётся найти наиболее рациональное решение задачи, в большинстве случаев они избирают путь, который быстрее и легче приводит к цели.
Особенного развития рассматриваемый компонент математических способностей достигает в старшем школьном возрасте. Эта тенденция свойственна всем способным к математике старшеклассникам и проявляется при этом в очень яркой и выразительной форме: после решения задачи обычно начинаются творческие поиски, направленные на исследование и улучшение найденного способа с целью найти наиболее экономный и рациональный.
6. Математическая память
Проявлений собственно математической памяти в её развитых формах (когда помнились бы только обобщения и мыслительные схемы) в младшем школьном возрасте не наблюдается: все ученики (и способные к математике и другие) обычно одинаково запоминают и конкретные данные и отношения и обобщённые математические структуры (формулы, правила и пр.). В их памяти хранится общее и частное, существенное и несущественной, нужное и ненужное. Поскольку основным для младших школьников всё-таки постепенно становится отношение данных задачи, то если они что-то и забудут, то это вероятнее всего не математические отношения, а числа, конкретные данные.
С годами всё большее значение приобретает запоминание отношений, всё меньше – запоминание конкретных данных. Память постепенно освобождается от хранения частного, конкретного, ненужного для дальнейшего развития.
Память способных к математике подростков уже по-разному проявляется по отношению к различным элементам математических систем (задач). она носит обобщённый и «срочный» характер. Быстро запоминаются и прочно сохраняются типы задач и обобщённые способы их решения, схемы рассуждений, доказательств. Конкретные данные запоминаются хорошо, но в основном лишь на время решения задачи, после чего быстро забываются. Лишние, ненужные данные запоминаются плохо. Запоминается не вся математическая информация, а преимущественно та, которая «очищена» от конкретных значений.
Качественно новые особенности приобретает математическая память у способных к математике старшеклассников.
Во-первых, один и тот же математический материал может храниться в памяти одновременно на разных уровнях обобщения, которые взаимосвязаны. Например, в памяти хранится самый широкий образ формулы без деталей, отражающий самый общий характер функциональной зависимости, наряду с этим – более конкретная её форма и, наконец, собственно формула. Это позволяет, с одной стороны, легко вывести формулу, если она забылась, исходя из общего характера функциональной зависимости, с другой стороны, легко предварительно прикинуть возможность применения данной формулы в том или ином конкретном случае. Например, формула площади треугольника может храниться в памяти старшеклассников одновременно на трёх уровнях:
(1) самый широкий образ – площадь треугольника является функцией двух сторон и угла между ними,
(2) менее обобщённый образ – площадь треугольника является функцией двух сторон и синуса угла между ними,
(3) собственно формула:
.
Во-вторых, в памяти хранятся общие методы подхода к решению задач, часто в виде самых общих указаний, без деталей.
В статье представлена самая общая и ориентировочная картина возрастного развития компонентов, занимающих существенное место в структуре математических способностей школьников. На различных возрастных ступенях эти компоненты отличаются качественным своеобразием и специфической формой проявления. Каждый новый этап подготовлен всем предыдущим ходом развития, возникает на основе его и является предпосылкой для перехода на новый, более высокий уровень развития. Большая часть компонентов начинает формироваться и активно развиваться именно в подростковом возрасте под решающим влиянием школьного математического образования, хотя и не определяется только им.
Не все компоненты математических способностей начинают формироваться одновременно. Развитие способностей к математике начинается с формирования первичного компонента – способности к обобщению математических объектов, отношений и действий. Способность к свёртыванию рассуждений, обобщённая память, стремление к экономности и рациональности решений формируется на более поздних этапах на основе способности к обобщению математического материала.
Работа написана по материалам монографии:
[1] Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / Под редакцией Н.И. Чуприковой. – М.: «Институт практической психологии»; Воронеж: Изд-во НПО «МОДЭК», 1998. – 416 с.
В структуре математических способностей школьника В.А. Крутецкий [1, с. 362] выделил следующие шесть компонентов:
1) формализованное восприятие математического материала,
2) обобщение математического материала,
3) свернутость математического мышления – тенденция мыслить в процессе математической деятельности сокращёнными структурами,
4) гибкость мыслительного процесса,
5) стремление к своеобразной экономии умственных усилий – к «изяществу» решений,
6) математическая память.
1. Формализованное восприятие математического материала
В «зародышевой» форме этот компонент начинает проявляться уже во 2-3 классах (к 8 годам). У более способных к математике учащихся под влиянием обучения формируется стремление разобраться в условии задачи, сопоставить её данные. Их начинает интересовать в задаче не просто отдельные величины, а именно отношения величин. Если менее способные ученики воспринимают отдельные, конкретные элементы задачи, как не связанные друг с другом, и сразу после чтения задачи, начинают производить различные операции со всеми данными числами (складывать, вычитать, в дальнейшем, умножать и делить), не задумываясь над смыслом задачи и не пытаясь вычленить основные отношения, то у более способных учеников появляется своеобразная потребность при восприятии условия задачи вскрывать эти отношения, связывать отдельные показатели и величины. Пока это процесс ещё более или менее «растянутый» во времени: быстро определить нужное отношение наблюдается лишь в совсем простых задачах у наиболее способных учеников.
Постепенно способные учащиеся начинают видеть в задаче отношения между определёнными величинами, поэтому они часто не придают большого значения тому, о каких конкретно предметах идёт речь в задаче, вплоть до того, что путают названия предметов / явлений, о которых говорят. Так решая задачу о яблонях: В саду было 9 яблонь, одна из них погибла, и садовник посадил ещё 6 яблонь; сколько стало яблонь в саду? – такие ученики в ответе могут записать «Стало 14 деревьев».
Менее способные ученики придерживаются точного названия предметов, в задачах они видят не какие-то математические отношения, а лишь конкретные предметы, с которыми нужно что-то делать. В той же задаче про яблони, ученику нельзя переформулировать вопрос: «Сколько яблонь стало в саду?» на «Сколько деревьев стало в саду?», – поскольку этот вопрос для ученика имеет отношение к другой задаче. Если после решения задачи про яблони ученикам предложить похожую задачу про груши: В саду росло 9 груш, одна из них погибла, и садовник посадил ещё 6 груш; сколько стало в саду груш? – они начнут решать её как совершенно новую задачу.
То же самое наблюдается и при конструировании задач учащимися. Менее способные начинают с предметного содержания («буду составлять задачу про яблоки»), потом с некоторым трудом вводят отношения («буду составлять задачу на «больше – меньше»), и лишь затем «опредмечивали» их («На моей яблоне – 20 яблок, а на Машиной – 18 яблок. На чьей яблоне яблок больше?»).
Вычленяя отношения, более способные и многие средние учащиеся уже во 2-3 классах начинают дифференцировать данные:
– выделять те, которые необходимы для решения,
– осознавать, каких величин недостаёт,
– отсеивать лишнюю, ненужную информацию (в том числе и числовые данные).
Постепенно процесс первичной ориентировки в условиях задачи начинает свёртываться. «Свёрнутый» характер восприятия отчётливо виден при решении элементарных задач, где меньше данных и поэтому облегчается восприятие всей системы отношений в целом. Тенденция к «свёрнутости» восприятия усиливается от 2 к 4 классу.
У более способных учеников наблюдается явно выраженная тенденция к своеобразному аналитико-синтетическому восприятию условия задачи: они воспринимают не только единичные элементы, а и своеобразные «смысловые математические структуры», комплексы взаимосвязанных математических величин и категорий. Разумеется, указанная особенность проявляется на сравнительно несложном арифметическом материале и, следовательно, на более или менее элементарном уровне. Дальнейшее развитие аналитико-синтетического восприятия условия задачи идёт по пути свёртывания (сокращения) этого процесса.
В среднем школьном возрасте процесс первичного анализа-синтеза данных условия не очень сложной задачи у весьма способных учащихся максимально «свёрнут», предельно ограничен во времени, так что практические сливается с моментом восприятия: не разбивается на этапы анализа и синтеза данных, не заметны элементы рассуждения.
Тенденция к формализации восприятия, выделению формальной структуры в среднем возрасте приобретает у более способных учащихся широкий характер.
В среднем школьном возрасте намечается, а в старшем школьном возрасте достигает значительного развития ещё одна способность восприятия школьниками математического материала: своеобразная многосторонность, многоплановость восприятия, когда одна и та же задача, одно и то же математическое выражение воспринимаются, оцениваются с разных точек зрения.
Например, при анализе основного тригонометрического тождества: sin2x + cos2x = 1, менее способные учащиеся укажут только на возможность использовать тождество для вычисления sin x (cos x) по данному cos x (sin x); способные к математике учащиеся заметят и ряд других возможностей, например:
– значение sin x и cos x не превосходит 1;
– если сумма квадратов двух чисел равна 1, то одно из них является синусом некоторого действительного числа, а второе – косинусом этого числа;
– при преобразовании тригонометрического выражения, содержащего А×sin2x, В×cos2x и С, можно использовать основное тригонометрическое тождество как слева направо (А < В, Аsin2x + Вcos2x + С = А(sin2x + cos2x) + (В – А)cos2x + С = (В – А)cos2x + (А + С) = Dcos2x + F ), так и справа налево (А < В, Аsin2x + Вcos2x + С(sin2x + cos2x) = (А + С)sin2x + (В + С)cos2x = К×sin2x + L×cos2x).
У школьников старшего школьного возраста под влиянием обучения формируется и развивается аксиомосообразное мышление, проявляющееся в
тенденции исследовать задачу на достаточность (полноту) и на совместность (непротиворечивость данных условия);
тенденции отделять постулируемое утверждение от выводимого.
Всё вышесказанное говорит о возникновении под влиянием школьного обучения тенденции к формализации математического материала в процессе его восприятия, способности усматривать в конкретном математическом выражении или задаче их формальную структуру. Ученик при этом отвлекается от конкретных данных и воспринимает, в первую очередь, лишь чистые отношения между величинами. Указанная тенденция возникает у способных учеников уже в конце младшего школьного возраста и заметно усиливается к старшему возрасту. При этом ученику требуется анализировать всё меньше и меньше однотипных выражений для усмотрения формальной структуры типа. В итоге возникает способность выделить формальную структуру типа в результате анализа лишь одного явления без сопоставления его с рядом других сходных явлений.
2. Обобщение математического материала
Способность к обобщению математического материала как способность улавливать общее в различных задачах и примерах и соответственно видеть разное в общем начинает складываться раньше всех других компонентов.
Уже в 1 классе можно наблюдать проявления обобщения в элементарных формах. На этом этапе развития учащихся ещё рано говорить об этой способности как специфической способности к обобщению именно математического материала. Скорее, здесь можно говорить об общей способности к обобщению, как одном из проявлений свойств обучаемости.
На начальных ступенях школьного обучения математические обобщения обычно формируются постепенно и распространяются на сравнительно ограниченный круг явлений. С возрастом обобщение становится всё более широким, распространяется на больший круг однородных математических явлений.
В младшем школьном возрасте наблюдается относительно более простой вид обобщения – движение от частного с известному общему – умение увидеть в частном уже известное общее, иначе говоря, подвести частный случай под общее правило. Этот вид обобщения достигает большого развития в среднем школьном возрасте. Чем способнее ученик, тем успешнее справляется он с задачами на соответствующее обобщение. Как правило, только в начале среднего школьного возраста наблюдается обобщение индуктивного характера – от частного к неизвестному общему.
Развитие способности к обобщению идёт по линии постепенного количества специальных однотипных упражнений, являющихся предпосылкой такого обобщения. У наиболее способных учащихся среднего школьного возраста такое обобщение наступает сразу, путём анализа одного отдельно взятого явления в ряду сходных явлений, как способность усмотреть ещё неизвестное общее в единичном. Путь обобщения «от (многих) частных к неизвестному общему» постепенно трансформируется в качественно совершенно особый путь «от (одного) частного к неизвестному общему».
Эта способность тесно связана со способностью к формализованному восприятию математического материала, и по аналогии с «формализованным восприятием» можно говорить о «формализованном решении». Например, способный к математике подросток ещё не знакомый с формулами сокращённого умножения решает задачу преобразования выражения: (2а + 7b)2.
| Преобразование | Аргументация |
| (2а + 7b)2 = | Возвести в квадрат – значит умножить само на себя |
| = (2а + 7b)×(2а + 7b) = | Каждое слагаемое одного двучлена умножить на каждое слагаемое другого двучлена, полученные результаты сложить |
| = 4а2 + 14ab + 14ab + 49b2 = | Получили квадрат первого слагаемого, два произведения первого на второе слагаемое, квадрат второго слагаемого. Результат случайный или закономерный? Закономерный! Значит, чтобы решать аналогичные задачи, нужно возвести в квадрат первое слагаемое двучлена, взять удвоенное произведение первого на второе слагаемое двучлена, возвести в квадрат второе слагаемое двучлена, затем все результаты сложить. |
| = 4а2 + 2×14ab + 49b2 = = 4а2 + 28ab + 49b2. |
Что будет, если в квадрат возводить разность? В результате: квадраты первого и второго членов останутся плюсовыми, а удвоенное произведение будет с минусом, так как оно всегда будет результатом умножения членов с разными знаками. |
| (а ± b)2 = а2 ± 2ab + b2 |
Для способных к математике старших школьников характерно не только обобщение конкретного материала, но и перевод уже обобщённой информации в более общий план.
Если подросток, решая данную задачу в общем виде, решает тем самым все задачи данного вида, то старший школьник старается решить не только заданный тип задач, но и более общую задачу, частным случаем которой является решённая им задача.
Например, такие школьники, решая задачу: «Доказать, что
, если » – в состоянии разглядеть в ней:– векторную природу (надо доказать, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей, если векторы параллельны) и обобщить её до следующей задачи:
;– или частный случай формулы Коши-Буняковского.
Способные к математике старшеклассники поднимаются до уровня обобщения методов, принципов подхода к анализу и решению задач разных типов; эти методы отличаются разной степенью обобщённости.
Опишем мотивацию деятельности обобщения. В младшем школьном возрасте обобщение вызывается некоторым внешним стимулом: указание учителя, логика задачи или её требование, – потребности в обобщении здесь чаще всего нет. С развитием учащегося в процессе обучения наблюдается всё большая независимость обобщения от внешних стимулов, и уже в среднем школьном возрасте явно обнаруживается потребность в обобщении даже тогда, когда никакой внешней необходимости в этом нет. Особенного развития она достигается в старшем школьном возрасте у способных к математике учащихся. Таким образом мотивацию деятельности обобщения движется от внешней необходимости к внутренней потребности.
3. Свёрнутость мышления
Свёрнутость, сокращённость рассуждения и системы соответствующих действий в процессе математической деятельности является специфической для способных к математике учащихся в основном старшего школьного возраста, хотя отчётливо усматривается и в среднем (подростковом) возрасте.
Этот компонент математических способностей в младшем школьном возрасте проявляется лишь в самой элементарной форме, при решении способными учениками лишь самых простых задач; как только задача усложняется, она учеником обдумывается и решается шаг за шагом, рассуждения развёрнутые и детализированные. Процесс свёртывания яснее выражен у способных учащихся после решения ими ряда однотипных задач и примеров. При этом чаще опускаются отдельные звенья рассуждения, действия же обычно сохраняются и воспроизводятся на бумаге последовательно. Например, при решении задачи: «Для школьной выставки ребята сделали 32 рисунка, 5 учеников третьего класса сделали по 4 рисунка, остальные рисунки сделали 6 учеников второго класса поровну. По сколько рисунков сделали для выставки ученики второго класса?» – такой ученик сразу же после первого прочтения задачи способен подвести итог: 12 : 6 = 2 рисунка сделал каждый ученик второго класса. Таким образом, два предшествующих этапа в решении задачи были проведены мысленно и очень быстро: 4 ×5 = 20, 32 – 20 = 12 или 32 – 4 ×5 = 12.
Можно наметить два направления развития рассматриваемого компонента математических способностей от среднего к старшему возрасту. С одной стороны, многократность повторения однотипного рассуждения и системы соответствующих действий, являющаяся на ранних возрастных этапах необходимым условием начала процесса свёртывания, постепенно перестаёт быть таким необходимым условием. Рассуждение и система соответствующих действий начинают свёртываться сразу же при решении нового типа задач.
У способных учащихся 7-9 и особенно старших классов зачастую сложно усмотреть процесс свёртывания, поскольку они мыслят уже свернутыми структурами, что обеспечивает им своеобразное математическое дальновидение при решении задач и бόльшую скорость переработки математической информации.
Второе направление развития касается осознания школьниками опущенных звеньев рассуждения.
На первых порах опущенные звенья осознаются: ученики не озвучивают и не визуализируют их, но они явно «присутствуют» при мышлении вслух и письменном воспроизведении соответствующих действий, в результате чего можно наблюдать паузы, приходящиеся как раз на те звенья, которые пропускаются.
В дальнейшем редуцированные звенья уже не осознаются в момент воспроизведении соответствующих действий: пауз в соответствующих местах не наблюдается; однако рассуждения легко может быть развёрнуто, то есть восстановлены все опущенные звенья, и это может быть сделано учеников в любой момент – при возникновении трудностей или по требованию учителя.
Наконец, на более поздних этапах развития, когда ученик мыслит свёрнутыми структурами, он испытывает трудности, если сталкивается с необходимостью развернуть процесс рассуждения с возможной полнотой. В отдельных случаях учащиеся явно затрудняются обосновать свой ход мысли, заявляя, что для них это очевидно, а они никогда не задумывались над тем, как объяснить очевидное. Например, если способный к математике старшеклассник решает задачу: «Найти зависимость между НОД и НОК двух чисел», – он сразу заключает: произведение НОД на НОК двух чисел равно произведению этих чисел. По требованию учителя, он поясняет (разворачивает рассуждения): НОД двух чисел – это их общие множители, НОК – это произведение самих чисел, в которые общая часть входит только один раз. Это рассуждение навряд ли будет понято большинством его одноклассников.
4. Гибкость мыслительного процесса
В зачаточной форме этот компонент был обнаружен лишь у способных к математике младших школьников, у большинства не обнаружено явной тенденции искать несколько различных путей решения одной и той же задачи, переключаясь с одного хода мысли на другой (такой переход оказывается для них трудным). Более того, у младших школьников требование найти ещё один способ решения задачи вызывает недоумение: для многих из них неприемлема сама мысль о том, что задача может иметь несколько правильных решений. Но способные к математике учащиеся, уже к окончанию начальной школы демонстрируют известную гибкость мыслительных процессов в ходе поисков других решений. Однако, следует отметить, что никогда это не происходит по их собственной инициативе, а всегда после наводящих вопросов учителя. Менее способные к математике учащиеся даже в более старших классах с трудом переключаются с одной умственной операции на другую (качественно иную), они обычно очень скованы первоначально найденным способом решения, склонны к шаблонным и трафаретным ходам мысли. Интересно, что в подобных случаях дело заключается не в том, что трудно переключиться с простого на более сложный способ решения; зачастую трудно переключиться и с более трудоёмкого на более лёгкий способ, если первый является привычным, а второй – новым и незнакомым. Один способ тормозится другим. Например, решая квадратное уравнение (5 – х)×(х + 7) = 0, некоторые ученики, вместо того, чтобы сразу найти корни, пользуясь свойством равенства произведения нулю: х = 5, х = – 7, – начинали приводить левую часть уравнения к стандартному виду для того, чтобы затем использовать формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения.
Развитие гибкости мышления идёт по пути всё более полного освобождения от сковывающего влияния предшествующего хода мысли. У более способных к математике подростков и старшеклассников ломка и перестройка сложившихся способов мышления совершаются быстро и без лишних проблем; они по собственной инициативе находят различные пути решения задач.
5. Стремление к экономии умственных усилий, рациональности
Тенденция к оценке ряда возможных способов решения и выбору из них наиболее ясного, простого и экономного, наиболее рационального решения в младшем школьном возрасте ещё не чётко выражена. Лишь наиболее способные оценивали различные решения как «более простое» и «более сложное», «лучшее» и «худшее», исходя при этом только из количества производимых операций.
Указанная тенденция начинает заметно проявляться лишь в среднем школьном (подростковом) возрасте. Если для учеников со средними способностями цель заключается в том, чтобы решить задачу, то для способных к математике она заключается в том, чтобы решить её наилучшим, наиболее экономным способом. Хотя подросткам и не всегда удаётся найти наиболее рациональное решение задачи, в большинстве случаев они избирают путь, который быстрее и легче приводит к цели.
Особенного развития рассматриваемый компонент математических способностей достигает в старшем школьном возрасте. Эта тенденция свойственна всем способным к математике старшеклассникам и проявляется при этом в очень яркой и выразительной форме: после решения задачи обычно начинаются творческие поиски, направленные на исследование и улучшение найденного способа с целью найти наиболее экономный и рациональный.
6. Математическая память
Проявлений собственно математической памяти в её развитых формах (когда помнились бы только обобщения и мыслительные схемы) в младшем школьном возрасте не наблюдается: все ученики (и способные к математике и другие) обычно одинаково запоминают и конкретные данные и отношения и обобщённые математические структуры (формулы, правила и пр.). В их памяти хранится общее и частное, существенное и несущественной, нужное и ненужное. Поскольку основным для младших школьников всё-таки постепенно становится отношение данных задачи, то если они что-то и забудут, то это вероятнее всего не математические отношения, а числа, конкретные данные.
С годами всё большее значение приобретает запоминание отношений, всё меньше – запоминание конкретных данных. Память постепенно освобождается от хранения частного, конкретного, ненужного для дальнейшего развития.
Память способных к математике подростков уже по-разному проявляется по отношению к различным элементам математических систем (задач). она носит обобщённый и «срочный» характер. Быстро запоминаются и прочно сохраняются типы задач и обобщённые способы их решения, схемы рассуждений, доказательств. Конкретные данные запоминаются хорошо, но в основном лишь на время решения задачи, после чего быстро забываются. Лишние, ненужные данные запоминаются плохо. Запоминается не вся математическая информация, а преимущественно та, которая «очищена» от конкретных значений.
Качественно новые особенности приобретает математическая память у способных к математике старшеклассников.
Во-первых, один и тот же математический материал может храниться в памяти одновременно на разных уровнях обобщения, которые взаимосвязаны. Например, в памяти хранится самый широкий образ формулы без деталей, отражающий самый общий характер функциональной зависимости, наряду с этим – более конкретная её форма и, наконец, собственно формула. Это позволяет, с одной стороны, легко вывести формулу, если она забылась, исходя из общего характера функциональной зависимости, с другой стороны, легко предварительно прикинуть возможность применения данной формулы в том или ином конкретном случае. Например, формула площади треугольника может храниться в памяти старшеклассников одновременно на трёх уровнях:
(1) самый широкий образ – площадь треугольника является функцией двух сторон и угла между ними,
(2) менее обобщённый образ – площадь треугольника является функцией двух сторон и синуса угла между ними,
(3) собственно формула:
.Во-вторых, в памяти хранятся общие методы подхода к решению задач, часто в виде самых общих указаний, без деталей.
В статье представлена самая общая и ориентировочная картина возрастного развития компонентов, занимающих существенное место в структуре математических способностей школьников. На различных возрастных ступенях эти компоненты отличаются качественным своеобразием и специфической формой проявления. Каждый новый этап подготовлен всем предыдущим ходом развития, возникает на основе его и является предпосылкой для перехода на новый, более высокий уровень развития. Большая часть компонентов начинает формироваться и активно развиваться именно в подростковом возрасте под решающим влиянием школьного математического образования, хотя и не определяется только им.
Не все компоненты математических способностей начинают формироваться одновременно. Развитие способностей к математике начинается с формирования первичного компонента – способности к обобщению математических объектов, отношений и действий. Способность к свёртыванию рассуждений, обобщённая память, стремление к экономности и рациональности решений формируется на более поздних этапах на основе способности к обобщению математического материала.
Работа написана по материалам монографии:
[1] Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / Под редакцией Н.И. Чуприковой. – М.: «Институт практической психологии»; Воронеж: Изд-во НПО «МОДЭК», 1998. – 416 с.
Другие статьи
- Языковой портфель как средство обучения и инструмент оценивания достижений учащихся по иностранному языку
- Кукольный театр
- ОБЖ в новом стандарте (Военно-патриотическое воспитание в МАОУ СОШ № 51 г. Томска на современном этапе)
- Молодежное добровольчество
- Методы реализации воспитательных задач на уроках информатики
- Электронное портфолио учителя
- Использование презентаций в процессе обучения историии культуры родного края в специальной (коррекционной) школе VIII вида
- Официальные сайты и сайты, посвященные профильному обучению
- Я – учитель!
- Формы взаимодействия классного руководителя с родителями учащихся.
Комментарии
Комментарии отсутствуют
Чтобы оставить комментарий, пожалуйста, зарегистрируйтесь и авторизируйтесь на сайте.
